笛卡儿方程(小瓜瓜陪你聊数学 第38集 《解析几何的开创者——笛卡尔2》)

笛卡儿方程
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只有服从理性,我们才能成人。
——【法】勒内·笛卡尔
小瓜瓜陪你聊数学
第38集 解析几何的开创者——笛卡尔2
大家好!欢迎来到《小瓜瓜陪你聊数学》。
说起数学,我们每个人从小就知道,在学校也一直都在学习各种数学知识。那,数学是什么?数学来自哪里?又会去向何方?历史上,有什么有趣的数学人物和故事呢?如果你也喜欢数学,想走近数学,加入我们一起学习吧!
上一集,我们聊了笛卡尔的生平故事,这一集继续来聊笛卡尔的学术成就。
笛卡尔是一位伟大的数学家和科学家,同时也是一位伟大的哲学家和思想家。他的数学成就和哲学思想是交相辉映的。
我们主要来聊聊作为数学家和科学家的笛卡尔。
说起笛卡尔,我们首先会想到笛卡尔坐标和解析几何学。等我们上了高中,就会学习平面解析几何,这是初等数学和高等数学的分水岭,也是常量数学向变量数学过渡的阶梯。学好解析几何,不仅有助于从代数和几何两个方面理解数学,更是我们认知世界和思维升级的有力武器。
那么,解析几何是什么?它为什么有这么大的威力呢?笛卡尔又是怎样创立解析几何这门崭新的学科呢?
01
解析几何是什么

解析几何又称为坐标几何,它是借助于代数解析式来研究平面或立体图形,包括直线、曲线、平面和曲面研究。
在没有解析几何之前,传统的几何学是欧几里得式的,主要依赖于几何图形自身的结构,证明和推理更多的时候,依赖于辅助线和相当繁杂的数学技巧。
02
解析几何的威力

解析几何最大的优点是它将研究的几何形体放在坐标系中,利用坐标(也就是有序数组)和图形上点的一一对应关系,来看待和研究几何。当建立起这种一对一对应关系后,几何形体的结构便可转化成包含坐标的方程,于是几何形体成了一个个代数方程。
而代数方程更容易归类和分析,也更方便符号化,于是几何学就插上了翅膀,获得了新生!

03
笛卡尔创立解析几何学

笛卡尔不是最早提出解析几何思想的数学家,早在古希腊时期,圆锥曲线之父——阿波罗尼奥斯就使用了参照线、直径、切线等就非常接近于现代解析几何的坐标系统,只是那个时候还没有负数概念,对代数方程的研究也很少,阿波罗尼奥斯无法创立解析几何。
后来,到了11世纪,中东地区的数学家海亚姆发现了代数和几何的密切联系,他第一次使用曲线交点来求解三次方程,已经有了解析几何曲线方程的雏形。

创立解析几何的是笛卡尔和费马,后面我们再聊费马的贡献。
先来说笛卡尔的工作。笛卡尔生活的时代,欧洲的航海技术日益发展,同时初等几何和初等代数都已经初步完善,社会经济需求和学科发展规律共同促成了解析几何的诞生。

有一个传说,说笛卡尔有一次生病躺在床上,虽然身体虚弱,但他对数学的思考并没有停歇。他反复想着一个问题,几何图形是直观的,而代数方程比较抽象,能不能把几何图形和代数方程结合起来呢?这时他看见屋顶上有一只蜘蛛,蜘蛛先生拉着丝垂下来,一会儿又顺着丝爬上去,同时左右拉丝,慢慢地织出一张网来。笛卡尔看着蜘蛛先生的表演,不禁豁然开朗。他想,把蜘蛛当作一个点,它在屋子上面上下左右运动,到屋顶和墙壁的距离是在不断变化,反过来,这不断变化的距离正表明了蜘蛛的位置,蜘蛛走出一条曲线,也正对应着一组按某种规律变化的数,也就是坐标。
虽然,这个传说很可能不是事实,就像苹果落地砸到牛顿的传说一样。但它确实形象地说明了解析几何的含义。

实际上,笛卡尔刚开始建立的并不是我们现在熟悉的直角坐标系。
笛卡尔最初在研究几何作图问题时,发展了韦达的代数思想,用方程来解决几何作图问题。慢慢地,笛卡尔得到了用代数方程来表示曲线的思想。特别是在研究古希腊几何学家帕普斯提出的帕普斯问题时,笛卡尔假定两个可变线段的长度分别是x和y,然后利用等量关系建立起x和y的方程,而这个方程是一个二次方程。笛卡尔认识到,每给定一个x,就能得到对应的y,无穷个x,就有无穷个对应的y,从而得到了点的轨迹,也就是一个二次曲线,它正是帕普斯所说的圆锥曲线。
这些都记载在笛卡尔的名著《方法论-几何篇》里。
有了曲线方程的思想后,笛卡尔进一步发展了这一思想,他指出,无论坐标系如何选择,曲线的方程的次数是不变的,这是曲线的一个不变量,但选取合适的坐标系,可以使方程的形式更加简洁。比如,古希腊几何学家们研究的圆锥曲线,它们的曲线方程都是二次方程,因此,圆锥曲线本质上是二次曲线。而直线的方程,很显然是一次的。
笛卡尔将代数的地位提到了前所未有的高度,后来,牛顿在《普遍的算术》中写道:近代人走得更远(比起希腊人的平面、立体和线性的轨迹来说),笛卡尔的工作把所有可以用方程表示的线都接收到几何里。
笛卡尔建立了几何图形与方程的完美统一,在解析几何里,两个曲线的交点就是两个曲线方程的解,这显得非常深刻,也非常自然。
解析几何学的诞生是数学发展史上具有里程碑意义的事,它不仅提供了更高级的数学研究工具,还大大拓展了几何学的研究对象。笛卡尔就给出了很多曲线(如心形线、叶形线等)的性质,这是前辈数学家们远远不能企及的。除了创立解析几何学,笛卡尔还运用他的解析几何学来研究光学、力学。

04
笛卡尔的更多成就

在数学上,笛卡尔还发展了韦达的代数符号体系,有了各种简洁的数学符号,数学思想和概念更易于表示,数学的发展进入到空前的快车道。
笛卡尔还提出了判定多项式正负根数目的判定法则,他还提出了凸多面体的公式:V?E+F=2,一百多年后,大数学家欧拉独立发现这个公式,现在人们称为欧拉-笛卡尔公式。
他从哲学的角度明确提出了惯性定律和动量守恒定律,为后来的牛顿力学奠定了思想基础。
他还提出了宇宙演化理论,影响了后世科学家对宇宙天体的思考。
他的哲学和数学思想对人类发展产生了深远影响。
难怪有人说:笛卡尔是欧洲文艺复兴以来,第一个为人类争取并保证理性权利的人。
可以说我们每个现代人的思想里,都或多或少传承了笛卡尔的思想。
下一集,我们来聊聊被称为“业余数学家之王”的费马。
这里是“小瓜瓜陪你聊数学”,
我们下集——再见! 

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